正方形の面積を求める問題で、1辺の長さが分からず手が止まった経験はありませんか。今回は、縦7cm、横21cmの直角三角形の中に正方形が2つ並び、手がかりは「45°」だけ、という問題です。私が予想問題として作ってみました。
今回の問題
図のように、直角三角形ABCの辺上を通る正方形DEFGとHIKJがあります。角Cは直角で、AC＝7cm、BC＝21cmです。角IJBが45°のとき、正方形HIKJの面積を求めなさい。
※図はここに挿入（「挑戦状.png」をメディアにアップロードして挿入。頂点の記号A〜Kを書き込んだ図があれば、解説と対応します）
分かっている長さは、縦7cmと横21cmの2つだけです。条件は「正方形であること」と「45°であること」。ここからどう攻めるかが、この問題の面白いところです。
正方形の面積を求める方法は3つあります
- 1辺×1辺：1辺の長さが分かるときの、いちばん基本の求め方です。
- 対角線×対角線÷2：正方形はひし形の仲間でもあり、2本の対角線が垂直に交わります。一方の対角線を下に、もう一方を横にずらして囲むと長方形ができ、四角形の面積はその半分になります。これが÷2の理由です。
- 囲んで引く：斜めを向いた正方形は、縦と横で囲んで、全体から直角三角形4つ分を引きます。
45°が出てきたら、対角線を引く理由
今回は1辺の長さをつかむ手がかりがありません。そこで、対角線の長さを狙います。正方形の対角線は角を2等分するので、できる角は45°です。問題で与えられた45°と合わせると、45°＋45°＝90°。対角線HJは底辺BCと垂直になります。垂直ができれば、縦の7cmと結びつけられそうです。
長さが書いていない三角形は「形」で考える
相似でHJとBJの比を決める
三角形ABCと三角形HBJは相似です。小さい方の三角形には長さが1つも書かれていませんが、形が同じなので比で考えられます。三角形ABCの直角をはさむ2辺は7cmと21cm、つまり1対3。ですから、HJ＝①、BJ＝③とおけます。
直角二等辺三角形を見つける
次に三角形HJFを見ます。角Jは直角、角Hは45°なので、角Fも45°。直角二等辺三角形ですから、HJ＝JF＝①です。BからFまでは、③＋①＝④になりました。
もう1本の対角線にも、同じ相似を使う
図を見ると、緑の正方形の辺HKをのばした線が、もう1つの正方形の辺GFに重なっています。2つの正方形は同じ向きに並んでいるので、対角線DFもHJと同じく底辺に垂直です。三角形DBFも三角形ABCと相似で、比は1対3。BFが④ですから、DFは④を3で割った長さになります。
DF＝④÷3＝④／3
底辺の21cmを、丸数字で表す
頂点Eは辺AC上にあるので、FCは、正方形の中心から頂点Eまでの横の長さ、つまり対角線DFの半分です。
FC＝④／3÷2＝②／3
底辺BCは、BJ＋JF＋FCですから、次のようになります。
③＋①＋②／3＝⑭／3 これが21cmにあたります。
対角線の長さと、面積を求める
①＝21÷⑭／3＝21×3／14＝4.5（cm）
これが正方形HIKJの対角線HJの長さです。あとは、対角線×対角線÷2で面積が出ます。
面積＝4.5×4.5÷2＝10.125（cm²）
答え：10.125cm² です。
別解：囲んで引く方法
対角線の長さ4.5cmが分かったあとなら、3つ目の方法でも確かめられます。斜めを向いた正方形を、1辺が4.5cmの大きな正方形で囲むと、四隅に直角二等辺三角形が4つできます。
81／4－81／32×4＝10.125（cm²）
同じ答えになりました。
この問題から持ち帰りたい考え方
1辺が分からない正方形には、対角線で求める、囲んで引く、という引き出しがあります。どれが使えそうかを選ぶところから、考え方の勝負が始まります。もう一つは、長さが書かれていない三角形でも、大きな三角形との相似から「比」でつかめること。この2つが、今回いちばん伝えたかったことです。
解説動画では、図を指しながら、ここまでの流れをお話ししています。
別のやり方もたくさんありそうです。思いついた方法があれば、ぜひコメントで教えてください。
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