みなさん、こんにちは！さんよび先生です。今回は、一見するとどこから手をつけていいか迷ってしまう、角度の扱い方が非常に美しい中学受験算数の難問を解説します。
「角度がちょうど2倍になっている」という情報をどう活かすか。驚異の補助線の発想を、ぜひじっくり味わってみてください！
まずは問題に挑戦！
図において、四角形 ABCD は長方形です。
- 角 a の大きさは、角 b の大きさの2倍です。
- 線分 BD の長さが8cm
- 線分 DE の長さが5cm
このとき、線分「AE」の長さは何cmでしょうか？
【さんよび先生からのヒント】
この問題の難しいところは、ズバリ「角度の扱い方」です。パッと見では何もできないように思えますが、算数で角度の条件が出てきたら「角度を等しくする（揃える）」ことを意識するのが鉄則です！
角度を揃えるための「発想」
角度が同じになれば、以下のようにたくさんの武器（手がかり）が生まれます。
- 錯角が等しい ⇒ 平行線が生まれる
- 底角が等しい ⇒ 二等辺三角形が生まれる
- 2つの角がそれぞれ等しい ⇒ 相似（形が同じ図形）が生まれる
今回の問題では、角 a が「2個分の丸（②）」、角 b が「1個分の丸（①）」の大きさと表せます。
さらに、長方形の対辺は平行なので、錯角の関係から角 BDC も「2個分の丸（②）」であることが分かります。
ここに「②」の角が2箇所集まりました。そこで、バラバラな角度を揃えるために、「①の角を2倍にして、すべて②に統一する」という強烈な補助線を引いてみます！
【補助線の引き方】
三角形 ABE とまったく同じ図形を、線分 AB を軸にしてパタンと反対側にひっくり返します（線対称な位置に移動させます）。
新しくできた点を E′ とすると、角 E′BA も①となるため、合わせると角 E′BE が「②」の大きさになり、角度がきれいに揃います！
「相似（そうじ）」を見つけて一気に解く！
図形をひっくり返したことで、線分 BE と線分 BE′ の長さは等しくなり、三角形 BEE′ はきれいな二等辺三角形になります。
ここで、次の2つの三角形の「角度」に注目してみましょう。
- 小さな青い三角形 BEE′ ⇒ 頂角が「②」の二等辺三角形です。
- 大きな赤い三角形 BDE′ ⇒ 角 E′BD の大きさが「②」であり、さらに頂点 E′ の角（★とします）は、小さな三角形 BEE′ と共通しています。
2つの角（②と、共通の角★）がそれぞれ等しいため、なんと大きな三角形 BDE′ と 小さな三角形 BEE′ は「相似（形が全く同じ）」であることが証明されます！
💡 ここがポイント！
形が全く同じということは、小さな三角形が「二等辺三角形」なら、大きな三角形 BDE′ も「二等辺三角形」になります！
したがって、以下の関係が成り立ちます。
DB = DE′ = 8cm
いよいよ最後の計算へ
線分 DE′ の長さが8cmだと分かりました。
問題の条件から、DE = 5cm です。
ひっくり返した図形の性質から、求める AE の長さと AE′ の長さは等しいので、残った部分（8 − 5 = 3cm）の中に、求めたい「四角（AE）」がちょうど2個分含まれていることになります。
線分の関係を式に表すと、次のようになります。
AE = (8 − 5) ÷ 2
AE = 3 ÷ 2 = 1.5cm
【答え】 1.5 cm
まとめ＆さんよび先生より
今回のポイントは、「図形をパタンと折り返して、2倍の角度を無理やり作り出し、相似（二等辺三角形）を導き出す」という驚異の発想でした。角度が等しいところを増やすことで、見えなかった関係性が一気に見えてくる最高の良問です！
「他にもこんな解き方があるよ！」「別の補助線を思いついた！」という方がいらっしゃいましたら、ぜひYouTubeのコメント欄で教えてくださいね！
今回の解説が「わかりやすかった！」「おもしろかった！」という方は、ぜひチャンネル登録・高評価・コメントをよろしくお願いします！
#さんよび塾 #中学受験 #算数）
【さんよび先生からのヒント】
この問題の難しいところは、ズバリ「角度の扱い方」です。パッと見では何もできないように思えますが、算数で角度の条件が出てきたら「角度を等しくする（揃える）」ことを意識するのが鉄則です！
角度を揃えるための「発想」
角度が同じになれば、以下のようにたくさんの武器（手がかり）が生まれます。
- 錯角が等しい ⇒ 平行線が生まれる
- 底角が等しい ⇒ 二等辺三角形が生まれる
- 2つの角がそれぞれ等しい ⇒ 相似（形が同じ図形）が生まれる
今回の問題では、角 a が「2個分の丸（②）」、角 b が「1個分の丸（①）」の大きさと表せます。
さらに、長方形の対辺は平行なので、錯角の関係から角 BDC も「2個分の丸（②）」であることが分かります。
ここに「②」の角が2箇所集まりました。そこで、バラバラな角度を揃えるために、「①の角を2倍にして、すべて②に統一する」という強烈な補助線を引いてみます！
【補助線の引き方】
三角形 ABE とまったく同じ図形を、線分 AB を軸にしてパタンと反対側にひっくり返します（線対称な位置に移動させます）。
新しくできた点を E′ とすると、角 E′BA も①となるため、合わせると角 E′BE が「②」の大きさになり、角度がきれいに揃います！
「相似（そうじ）」を見つけて一気に解く！
図形をひっくり返したことで、線分 BE と線分 BE′ の長さは等しくなり、三角形 BEE′ はきれいな二等辺三角形になります。
ここで、次の2つの三角形の「角度」に注目してみましょう。
- 小さな青い三角形 BEE′ ⇒ 頂角が「②」の二等辺三角形です。
- 大きな赤い三角形 BDE′ ⇒ 角 E′BD の大きさが「②」であり、さらに頂点 E′ の角（★とします）は、小さな三角形 BEE′ と共通しています。
2つの角（②と、共通の角★）がそれぞれ等しいため、なんと大きな三角形 BDE′ と 小さな三角形 BEE′ は「相似（形が全く同じ）」であることが証明されます！
💡 ここがポイント！
形が全く同じということは、小さな三角形が「二等辺三角形」なら、大きな三角形 BDE′ も「二等辺三角形」になります！
したがって、以下の関係が成り立ちます。
DB = DE′ = 8cm
いよいよ最後の計算へ
線分 DE′ の長さが8cmだと分かりました。
問題の条件から、DE = 5cm です。
ひっくり返した図形の性質から、求める AE の長さと AE′ の長さは等しいので、残った部分（8 − 5 = 3cm）の中に、求めたい「四角（AE）」がちょうど2個分含まれていることになります。
線分の関係を式に表すと、次のようになります。
AE = (8 − 5) ÷ 2
AE = 3 ÷ 2 = 1.5cm
【答え】 1.5 cm
まとめ＆さんよび先生より
今回のポイントは、「図形をパタンと折り返して、2倍の角度を無理やり作り出し、相似（二等辺三角形）を導き出す」という驚異の発想でした。角度が等しいところを増やすことで、見えなかった関係性が一気に見えてくる最高の良問です！
「他にもこんな解き方があるよ！」「別の補助線を思いついた！」という方がいらっしゃいましたら、ぜひYouTubeのコメント欄で教えてくださいね！
今回の解説が「わかりやすかった！」「おもしろかった！」という方は、ぜひチャンネル登録・高評価・コメントをよろしくお願いします！
#さんよび塾 #中学受験 #算数
