小学生が解く！
「緑」の正方形の面積は何cm²？
平面図形 ／ 45° の条件を活かす ／ 中学受験算数
皆さん、こんにちは。さんよびです。
今回は、私が「予想問題」として作成した平面図形の問題をご紹介します。
図形の見方ひとつで、解法の鮮やかさがガラッと変わる。そんな算数の醍醐味が詰まった一問です。ぜひ、一緒に挑戦してみてください。
図のように、直角三角形の辺上に 2 つの正方形が並んでいます。
底辺と小さい正方形のなす角が 45° のとき、緑の正方形の面積を求めなさい。
正方形の面積を求めるルートは主に3つ。今回はどれを選ぶ？
- 1 1辺 × 1辺：基本中の基本。
- 2 対角線 × 対角線 ÷ 2：ひし形の性質を利用する。
-
3
全体から引く（囲い込み）：斜めを向いた正方形に有効。
→ 今回は条件の 45° を活かして 「2. 対角線」を狙い撃ち！ 今回の戦略
補助線を引き、角度に注目する
正方形 HIKJ の対角線 HJ を引きます。 すると、この線は底辺 BC に対して垂直になります。
なぜなら、正方形の対角線は角度を 45° ずつに分けます。 さらに ∠IJB = 45° なので、合わせて 90° になるからです。
「ピラミッド型の相似」を活用
三角形 ABC と小さな三角形 HBJ に注目すると、これらは相似（ピラミッド型）です。
- ABC の縦と横の比は 7 : 21 = 1 : 3
- HBJ の縦（HJ）と横（BJ）も 1 : 3
ここで HJ = ①、BJ = ③ とおきます。
直角二等辺三角形を見つける
三角形 HJF に注目すると、ここは直角二等辺三角形になっています。
したがって HJ = JF = ① となり、 BF の長さは ③ + ① = ④ と表せます。
もう一つの相似で全体をつなぐ
さらに、三角形 ABC と三角形 DBF も相似です。
比は 1 : 3 なので、縦の DF は、横の BF（④）を 3 で割った 4/3 となります。
正方形 DEFG の対角線の長さは DF = 4/3 × ① で表せます。 計算を進めると、底辺 BC（21 cm）は比の合計で 14/3 に相当することがわかります。
計算の結果、比の ①（対角線 HJ）の長さは 4.5 cm と導き出せます。
最後は対角線を使った面積の公式に当てはめるだけ！
緑の正方形の面積
4.5 × 4.5 ÷ 2
= 10.125 cm²
いかがだったでしょうか？
「斜めの正方形」に「対角線」というアプローチを組み合わせることで、複雑な計算を避けてシンプルに解くことができます。
他にも「こんな解き方をしたよ！」という方がいれば、ぜひYouTubeのコメント欄で教えてくださいね。
