【伝説級の図形問題】
小4・小5が挑む！
ジュニア算数オリンピックに挑戦
正五角形 × 正十角形 ／ 等積変形のエッセンスが凝縮された良問
🎥 まずは動画で問題をチェック！
https://youtu.be/RYT7SjHZEfg
皆さんこんにちは！中学受験算数専門オンライン家庭教師のさんよび先生です。
今回はYouTubeでも解説した「ジュニア算数オリンピック」の予選問題から、非常にやりごたえのある図形問題をブログでもシェアします。小4・小5がこのレベルを解くというのだから驚き！今年の灘中の問題にも似たエッセンスが登場した、まさに伝説級の良問です。
📝 今日の問題
正五角形ABCDEと正十角形ABFGHJKLMが辺ABを共有して重なっています。
正十角形の面積が 100 cm² のとき、斜線部分（色のついた部分）の面積を求めなさい。
赤い斜線部分の面積を求めよ（正十角形の面積＝100 cm²）
💡 さんよび先生のヒント！
- 1つの内角・外角の大きさはいくつ？
- 正十角形を10等分した二等辺三角形に注目！
- 正五角形の「あの頂点」はどこにある？
- 平行線を見つけて「等積変形」を使いこなそう！
🔍 解説と解答
正十角形を分割してみる
正十角形の全体の面積は 100 cm²。中心から各頂点へ線を引くと、10個の合同な二等辺三角形ができます。
内角・外角を求める
正多角形の問題では角度が最大のカギです。
【正五角形】外角 ＝ 360° ÷ 5 ＝ 72° → 内角 ＝ 180° − 72° ＝ 108°
ステップ1で作った「10等分の二等辺三角形」の角度は：
頂角 ＝ 36°、底角 ＝ (180° − 36°) ÷ 2 ＝ 72°
正五角形の頂点の「正体」を暴く！
正五角形の中に対角線を引いてみると、頂角 36°・底角 72° の二等辺三角形が登場します。 これ、ステップ2で求めた「正十角形を10等分した三角形」と全く同じ形ですね！
つまり、正五角形の頂点Dは「正十角形のど真ん中（中心）」にピタリと重なります。
したがって、斜線部分の中央の三角形の面積はそのまま 10 cm²！
平行線と等積変形でトドメ！
残る左右の斜線部分を考えます。錯角・同位角を調べると、36° が等しい箇所（Zの形）が見つかり、特定の直線が「平行」であることが証明できます。
平行線の中にある三角形には等積変形が使えます。底辺を固定したまま頂点を平行線に沿ってスライドさせると、左右どちらの三角形も面積 10 cm² の三角形と等しくなることが分かります！
🌸 まとめ
この1問に詰まっている重要なエッセンスを振り返りましょう。
- 角度をしっかり計算して「形の一致」を見抜く
- 「ど真ん中では？」と疑って頂点の位置を確認する
- 平行線を見つけて等積変形を活用する
小4・小5でこのレベルに挑むのは本当に力がつきます。動画では図形を実際に動かしながら視覚的に解説していますので、ぜひYouTubeもチェックしてみてください！
