「高さが分からない台形」、あなたならどう解きますか？
台形の面積＝（上底＋下底）×高さ÷2という公式は、誰もが知っています。しかし、肝心の「高さ」が分からない台形が出てきたとき、あなたならどう解きますか？
今回は、愚直に高さを求めて計算する「王道の解法」と、図形の本質を見抜いて数秒で解く「別解」の2通りで考えてみましょう。
【問題】
上底13cm、下底26cmの台形があります。図のように、斜辺の一部に直角の印がついています。この台形の面積を求めなさい。
【ヒント】
- 直角マークのある部分に、辺の長さがわかる直角三角形が隠れていないか探してみましょう。
- 台形に対角線を1本引くと、上下2つの三角形ができます。この2つの三角形には、共通する「あるもの」があります。
【解答】
180cm²
【解説】
解法①：高さを逆算する（王道の解法）
まずは公式通り、高さを求めて解く方法です。
ステップ1：直角三角形の面積を先に求める
図の直角マークに着目すると、底辺10cm・高さ24cmの直角三角形が見つかります。
10 × 24 ÷ 2 ＝ 120cm²
実はこの直角三角形、斜辺の長さがちょうど26cmになっています。台形の下底と同じ長さです。この一致が、この問題を成立させている仕掛けです。
ステップ2：台形の高さを逆算する
この直角三角形の「26cmの辺」を底辺とみたときの高さを求めると、これが台形全体の高さと一致します。
26 × 高さ ÷ 2 ＝ 120
高さ ＝ 12013 cm
ステップ3：台形の公式にあてはめる
（13＋26）× 12013 ÷ 2 ＝ 39 × 12013 ÷ 2 ＝ 180cm²
正しく解けましたが、途中で分数が登場して少し計算が面倒です。
解法②：底辺の比と「高さ共通」に着目する（別解）
視点を変えて、台形に対角線を1本引いてできる「上の三角形」と「下の三角形」に注目してみましょう。
上底と下底は平行なので、この2つの三角形は高さが共通です。高さが同じ三角形同士の面積比は、底辺の長さの比と一致します。
底辺の比 ＝ 13：26 ＝ 1：2
面積の比 ＝ 1：2
下の三角形の面積はすでに120cm²と分かっているので、上の三角形の面積は計算するまでもなくその半分の60cm²です。
60 ＋ 120 ＝ 180cm²
高さを求めることなく、ほんの数秒で解くことができました。
この問題から学べる思考のポイント
- 「何が何でも高さを出さなきゃ」と思い込むと、複雑な分数計算に捕まってしまう
- 平行線がある＝高さが共通な三角形が隠れている、という視点を持つ
- 高さが共通なら「面積比＝底辺の比」がそのまま使える
パターン暗記ではなく、図形の本質を見抜く視点を持っておくことで、入試本番でも計算ミスを防ぎ、圧倒的なスピードで完答できるようになります。
この解説は、YouTubeチャンネルでも動画で詳しく取り上げています。
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